Question

18．已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=3，BD=CD=$\sqrt{2}$，且BD⊥CD，若点A在平面BCD内的投影恰好为点D，则此三棱锥外接球的表面积为11π．

Answer 1

分析 三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．

解答 解：∵点A在平面BCD内的投影恰好为点D，∴AD⊥平面BCD，
故AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{7}$，且知AD，BD，CD两两垂直，
故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．
易得外接球半径为$\frac{\sqrt{11}}{2}$，故外接球表面积为11π．
故答案为：11π

点评 本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的内接长方体．是基础题