Question

11．某重点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了很多新的规章制度，新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度的认知程度随机抽取100名学生进行问卷调查，调查卷共有20个问题，每个问題5分，调查结束后，发现这100名学生的成绩都在[75，100]内，按成绩分成5组：第1组[75，80），第2组[80，85）第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙上分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对新规取章制度作深入学习．
（1）求这100人的平均得分（同-组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）求第3，4，5组分别选取的人数；
（3）若甲、乙、丙都被选取对新规章制度作深人学习，之后要从这6人随机选取人2再全面考查他们对新规章制度的认知程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．

Answer 1

分析 （1）利用频率分布直方图能求出这100人的平均得分．
（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，共有60人，由此能示出用分层抽样在这三个组选取的人数．
（3）记其他人为、丁、戊、己，利用列举法能求出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．

解答 解：（1）这100人的平均得分为：
$\overline x=5×（{\frac{75+80}{2}×0.01+\frac{80+85}{2}×0.07+\frac{85+90}{2}×0.06+\frac{90+95}{2}×0.04+\frac{95+100}{2}×0.02}）=87.25$．
（2）第3组的人数为0.06×5×100=30，
第4组的人数为0.04×5×100=20，
第5组的人数为0.02×5×100=10，故共有60人，
∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1．
（3）记其他人为、丁、戊、己，
则所有选取的结果为（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（甲、戊）、（甲、己）、
（乙、丙）、（乙、丁）、（乙、戊）、（乙、己 ）、（丙、丁）、（丙、戊）、（丙、己）、
（丁、戊）、（丁、己 ）、（戊、己）共15种情况，
其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，
故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为$P=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等知识点，解题的关键是列出所有可能的组合，再去根据相关的定义和公式进行求解和计算．