Question

函数y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线

x

m

+

y

n

-4=0（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（　　）

• A、2+

  2

• B、2
• C、1
• D、4

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用对数的性质可得：函数y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），代入直线

x

m

+

y

n

-4=0（m＞0，n＞0）上，可得

1

m

+

1

n

=4．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：当x=1时，y=log_a1+1=1，
∴函数y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），
∵点A在直线

x

m

+

y

n

-4=0（m＞0，n＞0）上，
∴

1

m

+

1

n

=4．
∴m+n=

1

4

(

1

m

+

1

n

)(m+n)=

1

4

(2+

m

n

+

n

m

)≥

1

4

(2+2

m n • n m

)=1，当且仅当m=n=

1

2

时取等号．
故选：C．

点评：本题考查了对数的运算性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．