Question

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的个数是（　　）
①f（x）既是奇函数，又是周期函数 
②y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称
③f（x）的最大值为

4 3

9

④y=f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上是增函数．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：对于①，可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明；
对于②，用轴对称的条件直接验证f（π-x）=f（x）成立与否即可判断其正误；
对于③，可将函数解析式换为f（x）=2sinx-2sin³x，再换元为y=2t-2t³，t∈[-1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；
对于④由复合函数的单调性结合③可判断正确．

解答： 解：①∵f（-x）+f（x）=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，
∴函数f（x）=cosxsin2x是奇函数，
又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，
∴函数f（x）=cosxsin2x是周期函数，命题①正确；
②∵f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=

π

2

对称，
命题②正确；
③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，
令t=sinx∈[-1，1]，则y=2t-2t³，t∈[-1，1]，则y′=2-6t²，令y′＞0，
解得-

3

3

＜t＜

3

3

，故y=2t-2t³，在[-

3

3

，

3

3

]上增，在[-1，-

3

3

]与[

3

3

，1]上减，
又y（-1）=0，y（

3

3

）=

4 3

9

，故函数的最大值为

4 3

9

，命题③正确；
④∵t=sinx在[-

π

6

，

π

6

]上是增函数，而[-

1

2

，

1

2

]⊆[-

3

3

，

3

3

]，
由③知，y=f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上是增函数．
∴正确命题的个数是4个．
故选：D．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的基本性质，是中档题．