Question

7．已知双曲线$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$，过焦点F₁的弦AB（A、B在双曲线的同支上）长为8，另一焦点为F₂，则△ABF₂的周长为8$\sqrt{3}$+16．

Answer 1

分析 由双曲线方程求得a=2$\sqrt{3}$，由双曲线的定义可得 AF₂+BF₂ =4a+AB，△ABF₂的周长是（ AF₁ +AF₂ ）+（ BF₁+BF₂ ）=（AF₂+BF₂ ）+AB，计算可得答案．

解答 解：由题意可得2a=4$\sqrt{3}$，由双曲线的定义可得 
AF₂-AF₁=2a，BF₂ -BF₁=2a，∴AF₂+BF₂ -AB=4a，即AF₂+BF₂ =4a+AB．
△ABF₂（F₂为右焦点）的周长是 （ AF₁ +AF₂ ）+（ BF₁+BF₂ ）=（AF₂+BF₂ ）+AB=4a+2AB=8$\sqrt{3}$+16．
故答案为：8$\sqrt{3}$+16．

点评 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF₂+BF₂ =4a+AB 是解题的关键．