已知点A.B的坐标分别为.直线AT.BT交与点T.且它们的斜率之积为常数-λ.点T的轨迹以及A.B两点构成曲线C(Ⅰ)求曲线C的方程.并求其焦点坐标,(Ⅱ)若0＜λ＜1.且曲线C上的点到其焦点的最近距离为1.设直线l:y=(x-1)交曲线C于E.F两点.交x轴于点Q.直线AE.AF分别交直线x=3于点N.M．记线段MN的中点为P.直线PQ的斜率为k′．求证:k•k� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知点A，B的坐标分别为（2，0）、（-2，0），直线AT、BT交与点T，且它们的斜率之积为常数-λ（λ＞0，λ≠1），点T的轨迹以及A，B两点构成曲线C
（Ⅰ）求曲线C的方程，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）若0＜λ＜1，且曲线C上的点到其焦点的最近距离为1，设直线l：y=（x-1）交曲线C于E，F两点，交x轴于点Q，直线AE、AF分别交直线x=3于点N、M．记线段MN的中点为P，直线PQ的斜率为k′．求证：k•k′为定值．

分析（1）设T（x，y），利用直线的斜率公式，取得斜率之积，化简整理得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4λ}=1$（λ＞0，λ≠1）根据λ的取值范围，求得椭圆方程及焦点坐标；
（2）椭圆长轴端点到同侧焦点的距离是椭圆上的点到焦点的最近距离，求得λ的值，进而求出曲线C的方程为，直线y=k（x-1）交x轴于Q（1，0），联立椭圆方程，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明k•k′为定值．

解答解：（Ⅰ）设T（x，y），则$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-λ，化简得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4{λ}^{2}}=1$（x≠±2）．
又A，B的坐标（2，0）、（-2，0），也符合上式．
故曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4λ}=1$（λ＞0，λ≠1）．
当0＜λ＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，焦点为（-$\sqrt{1-λ}$，0），（$\sqrt{1-λ}$，0）；
当λ＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，焦点为（0，-2$\sqrt{λ-1}$），（0，2$\sqrt{λ-1}$）．

（Ⅱ）证明：由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其焦点为（-$\sqrt{1-λ}$，0），（$\sqrt{1-λ}$，0），
椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离是椭圆上的点到焦点的最近距离．
故2-2$\sqrt{1-λ}$=1，解得：λ=$\frac{3}{4}$，
曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
直线y=k（x-1）交x轴于Q（1，0），设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，①x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，②
直线AE方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），交直线x=3于点N（3，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
直线AF方程为：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），交直线x=3于点（3，$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$），
∴线段MN的中点为P（3，$\frac{1}{2}$（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$））．
∴直线PQ的斜率为：
k′=$\frac{\frac{1}{2}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）}{3-1}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4[{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{4[{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}$③
将①②代入③式化简得k′=-$\frac{3}{4k}$，
∴k•k′=-$\frac{3}{4}$，
∴k•k′为定值．