Question

1．如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=0，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面ABC⊥平面MDO．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理得OM∥AB，再证OM∥平面ABD；
（2）利用勾股定理证明OD⊥OM，由菱形的性质证明OD⊥AC；从而证明OD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面MDO．

解答 证明：（1）由题意知，O为AC的中点，
∵M为BC的中点，
∴OM∥AB；
又∵OM?平面ABD，BC?平面ABD，
∴OM∥平面ABD；
（2）由题意知，OM=OD=3，$DM=3\sqrt{2}$，
∴OM²+OD²=DM²，
∴∠DOM=90°，
即OD⊥OM；
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OD⊥AC；
∵OM∩AC=O，OM，AC?平面ABC，
∴OD⊥平面ABC；
∵OD?平面MDO，
∴平面ABC⊥平面MDO．

点评 本题考查了空间中的平行于垂直关系的应用问题，也考查了推理与证明能力，是基础题目．