Question

已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．

(1)证明：函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称；

(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f(x)的表达式．

Answer 1

 (1)证明：设P(x₀，y₀)是函数y＝f(x)图像上任一点，则y₀＝f(x₀)，

点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x₀，y₀)．

因为f(4－x₀)＝f[2＋(2－x₀)]

＝f[2－(2－x₀)]＝f(x₀)＝y₀，

所以P′也在y＝f(x)的图像上，

所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称．

(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，

所以f(－x)＝－2x－1.

又因为f(x)为偶函数，

所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．

当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0，－2]，

所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7.

而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，

所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．

所以f(x)＝