若函数y=f(x).x∈A满足:?x1.x2∈A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≤0恒成立.则称函数y=f(x)为定义在A上的“非增函数 .若函数f(x)是区间[0.1]上的“非增函数 .且f=1.又当x∈[0.$\frac{1}{4}$]时.f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题:①?x∈≥0,②若x1.x2∈[0.1].且x1≠x2.则f(x1)≠f(x2),� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．若函数y=f（x），x∈A满足：?x₁，x₂∈A，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≤0恒成立，则称函数y=f（x）为定义在A上的“非增函数”，若函数f（x）是区间[0，1]上的“非增函数”，且f（0）=1，f（x）+f（1-x）=1，又当x∈[0，$\frac{1}{4}$]时，f（x）≤-2x+1恒成立，有下列命题：①?x∈（0，1]，f（x）≥0；②若x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；③f（$\frac{1}{8}$）+f（$\frac{5}{11}$）+f（$\frac{7}{13}$）+f（$\frac{7}{8}$）=2．其中正确的是（　　）

A．

①②

B．

②③

C．

①③

D．

①②③

分析根据“非增函数”的定义，结合函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．

解答解：①，∵f（0）=1，f（x）+f（1-x）=1，
∴f（0）+f（1）=1，即f（1）=0，
∴对?x∈[0，1]，根据“非增函数”的定义知f（x）≥f（1）=0．故①正确；
②∵当x∈[0，$\frac{1}{4}$]时，f（x）≤-2x+1恒成立，
∴当x=$\frac{1}{4}$时，f（$\frac{1}{4}$）≤-2×$\frac{1}{4}$+1=$\frac{1}{2}$，
又f（x）+f（l-x）=l，∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
由而$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$，由“非增函数”的定义可知，f（$\frac{1}{4}$）≥$\frac{1}{2}$．
所以f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
同理有f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
当x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]时，由“非增函数”的定义可知，f（$\frac{1}{4}$）≤f（x）≤f（$\frac{3}{4}$），∴f（x）=$\frac{1}{2}$．所以②不正确；
③由②中，当x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]时，f（x）=$\frac{1}{2}$．可得：f（$\frac{5}{11}$）=f（$\frac{7}{13}$）=$\frac{1}{2}$，
由f（x）+f（1-x）=1得：f（$\frac{1}{8}$）+f（$\frac{7}{8}$）=1，
故f（$\frac{1}{8}$）+f（$\frac{5}{11}$）+f（$\frac{7}{13}$）+f（$\frac{7}{8}$）=2，故③正确；
故正确命题有：①③，
故选：C．

点评本题考查了命题的真假判断与运用，涉及抽象函数的性质，函数单调性的应用，正确理解新定义是解决本题的关键．，考查了学生的抽象思维能力，难度较大．