Question

12．设n是不小于2的正整数，求证：$\frac{4}{7}$＜1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 首先证得1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，当n=2，求得$\frac{7}{12}$＞$\frac{4}{7}$，即可证得不等式的左边成立；再由柯西不等式和放缩法，化简整理，即可得到右边成立．

解答 证明：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，
当n=2时，$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$＞$\frac{4}{7}$，即有1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$＞$\frac{4}{7}$；
由柯西不等式可得，
$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$＜$\sqrt{（{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}）（\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}）}$，
由$\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}$＜$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{2n}$，
即有$\sqrt{（{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}）（\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}）}$＜$\sqrt{n•\frac{1}{2n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则有原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和放缩法，结合不等式的性质，考查推理能力，属于难题．