Question

已知函数f（x）=alnx+x²f′（1）+

∫

e 1

1

x

dx，且f′（2）=7．
（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）＞m对于x＞

1

e

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由定积分公式，求出

∫

e 1

1

x

dx=1，再求出函数的导数，令x=1，2求出a=-2，再由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）函数f（x）＞m对于x＞

1

e

恒成立，即为m＜f（x）在x＞

1

e

的最小值．运用导数求出单调区间和极值，进而得到最小值，即可得到m的范围．

解答： 解：（1）由于

∫

e 1

1

x

dx=lnx|

e 1

=lne-ln1=1，
则f（x）=alnx+x²f′（1）+1，则f′（x）=

a

x

+2xf′（1），
则f′（1）=a+2f′（1），即有f′（1）=-a，
又f′（2）═

a

2

+4•（-a）=7，解得，a=-2，f′（1）=2．
则有f（x）=-2lnx+2x²+1．即有f′（x）=

-2

x

+4x，
即f′（1）=2，f（1）=3，
则曲线f（x）在x=1处的切线方程为：y-3=2（x-1），即2x-y+1=0；
（2）函数f（x）＞m对于x＞

1

e

恒成立，即为m＜f（x）在x＞

1

e

的最小值．
由于f′（x）=

-2

x

+4x=

4x2-2

x

=

4(x- 2 2 )(x+ 2 2 )

x

（x＞0），
当

1

e

＜x＜

2

2

时，f′（x）＜0，当x＞

2

2

时，f′（x）＞0，
则f（x）在x=

2

2

时取得极小值，也为最小值，
且为-2ln

2

2

+2×

1

2

+1=2+ln2．
则有m＜2+ln2．
则实数m的取值范围是（-∞，2+ln2）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查定积分的运算，属于中档题．