Question

6．若不等式（-1）ⁿ⁺¹•（$\frac{2}{3}$）ⁿ•（2a-1）＜1对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围是-$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 分类讨论，分离参数求最值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：n为偶数时，不等式（-1）ⁿ⁺¹•（$\frac{2}{3}$）ⁿ•（2a-1）＜1可化为2a-1＞-（$\frac{3}{2}$）ⁿ，∴a＞-$\frac{1}{4}$；
n为奇数时，不等式（-1）ⁿ⁺¹•（$\frac{2}{3}$）ⁿ•（2a-1）＜1可化为2a-1＜（$\frac{3}{2}$）ⁿ，∴a＜$\frac{5}{4}$，
∴-$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{5}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{5}{4}$．

点评 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，利用分类讨论的数学思想解决数学问题的能力．