Question

17．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（　　）

• A． 4+$\frac{4π}{3}$
• B． 6$\sqrt{3}$
• C． 4+$\frac{2π}{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．

解答 解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，
∴几何体底面弧长为$\frac{1}{3}×2π×2$=$\frac{4π}{3}$．
圆锥高为2$\sqrt{3}$．∴圆锥的母线长为$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}=4$．
作出几何体的侧面展开图如图所示：
其中，AB=AB′=2$\sqrt{3}$，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，
AC=AD=4，$\widehat{CD}=\frac{4π}{3}$．
∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=$\frac{\widehat{CD}}{AC}=\frac{π}{3}=60°$．
∴∠BAB′=120°．
∴BB′=$\sqrt{A{B}^{2}+AB{′}^{2}-2AB•AB′cos120°}$=6．
故选D．

点评 本题考查了圆锥的侧面展开图，曲面上最短路径问题，作出侧面展开图是解题关键．