Question

若a＞2，则方程

1

3

x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有（　　）

• A、0个根
• B、1个根
• C、2个根
• D、3个根

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：令f（x）=

1

3

x³-ax²+1，利用导数法，结合a＞2，可得f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上为减函数，进而根据零点存在定理可得函数f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上有且只有一个零点，即方程

1

3

x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有1个根．

解答： 解：令f（x）=

1

3

x³-ax²+1，
则f′（x）=x²-2ax，
∴a＞2，故当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，
即f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上为减函数，
又∵f（0）=1＞0，f（2）=

11

3

-4a＜0，
故函数f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上有且只有一个零点，
即方程

1

3

x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有1个根，
故选：B

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，熟练掌握方程根的个数与函数零点的关系，及函数零点的存在定理是解答的关键．