Question

已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R，O＜φ＜π），f（

π

4

）=

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（

a

2

-

π

3

）=

5

13

，a∈（

π

2

，π），求sina的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）首先根据f（

π

4

）=

3

2

．化简函数解析式，得到φ=

π

6

，然后求解函数表达式；
（2）根据f（

α

2

-

π

3

）=

5

13

，得到sin（α-

π

2

）=

5

13

，然后运用诱导公式和同角的平方关系，计算即可得到．

解答： 解：（1）∵f（

π

4

）=

3

2

．
∴sin

π

2

cosφ+cos

π

2

sinφ=

3

2

．
∴cosφ=

3

2

．
∵0＜φ＜π，
∴Φ=

π

6

，
∴f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

=sin（2x+

π

6

）．
∴f（x）的表达式f（x）=sin（2x+

π

6

）；
（2）∵f（

α

2

-

π

3

）=sin[2（

α

2

-

π

3

）+

π

6

]=

5

13

，
∴sin（α-

π

2

）=

5

13

，即-cosα=

5

13

，
即有cosα=-

5

13

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴sinα=

1-cos2α

=

1-(- 5 13 )2

=

12

13

．

点评：本题重点考查了同角的平方关系、诱导公式的运用和两角和与差的正弦公式，考查运算能力，属于基础题．