Question

设命题p：实数x满足x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x²-4x+3≤0．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；
（2）求出命题p，q的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）若a=1，不等式为x²-5x+4＜0，即1＜x＜4，即p：1＜x＜4，
由x²-4x+3≤0得（x-3）（x-1）≤0，
则1≤x≤3，即q：1≤x≤3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即

1＜x＜4 1≤x≤3

，解得1＜x≤3，
则实数x的取值范围是1＜x≤3；
（2）∵x²-5ax+4a²＜0，
∴（x-a）（x-4a）＜0，
若a＞0，则不等式的解为a＜x＜4a，
若a＜0，则不等式的解为4a＜x＜a，
∵q：1≤x≤3，
∴若p是q的必要不充分条件，
则a＞0，且

a≤1 4a≥3

，
即

3

4

≤a≤1，
则实数a的取值范围是[

3

4

，1]．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．