Question

已知曲线f（x）=ax+blnx-1在点（1，f（1））处的切线为直线y=0
（1）求实数a，b的值；
（2）设函数g（x）=

x2

2

-mx+mf（x），其中m为常数．求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用切线的斜率为0，可得f'（1）=0，又f（1）=0，即可求实数a，b的值；
（2）求导函数，当m≤0时，g′（x）＞0；当m＞0时，由g′（x）＞0，可得g（x）的单调递增区间；

解答： （1）解：求导函数，可得f'（x）=a+

b

x

由已知得切线的斜率为0，从而f'（1）=0，所以a+b=0
又f（1）=a-1=0，所以a=1，b=-1．
（2）g（x）=

x2

2

-mx+mf（x）=

x2

2

-mlnx-m，
∴g′（x）=x-

m

x

当m≤0时，
∵x＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当m＞0时，由g′（x）＞0，得x＞

m

或x＜-

m

（舍去）
∴g（x）的单调递增区间是（

m

，+∞）；

点评：本题考查导数知识的运用，导数的几何意义，函数的单调性，考查分类讨论思想的应用，正确求导，构建函数是关键．