Question

10．偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=2x，则关于x的方程f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x在x∈[0，4]上解的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 关于x的方程f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x在x∈[0，4]上解的个数，即函数y=f（x）和y=（${\frac{1}{2}}$）^x的图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数的图象，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
故函数是以2为周期的周期函数，
又由函数f（x）为定义在实数集R上的偶函数，
且当x∈[0，1]时，f（x）=2x，
故在[0，4]上，函数y=f（x）和y=（${\frac{1}{2}}$）^x的图象如下所示

由图可知：两个函数的图象共有4个交点，
故f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x在x∈[0，4]上解的个数是4，
故选C．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点与方程的根，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．