Question

2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，DD₁⊥面ABCD，DD₁∥CC₁，AD=4，AB=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面ADD₁；
（Ⅱ）若DD₁=2，求平面AC₁D₁与平面ADD₁所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC，DD₁∥CC₁，得平面BCC₁∥平面ADD₁，由此能证明BC₁∥平面ADD₁．
（Ⅱ）推导出AB⊥BC，AB⊥CC₁，从而CC₁⊥平面ABCD，进而DD₁⊥平面ABCD，过D在底面ABCD中作DM⊥AD，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AC₁D₁与平面ADD₁所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，DD₁∥CC₁，BC∩CC₁=C，AD∩DD₁=D，
BC，CC₁?平面BCC₁，AD，DD₁?平面ADD₁，
∴平面BCC₁∥平面ADD₁，
∵BC₁?平面BCC₁，
∴BC₁∥平面ADD₁．
解：（Ⅱ）∵平面ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BC₁，BC∩BC₁=B，∴AB⊥平面BCC₁，∴AB⊥CC₁，
又∵四边形CC₁D₁D为矩形，且底面ABCD中AB与CD相交于一点，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∵CC₁∥DD₁，∴DD₁⊥平面ABCD，
过D在底面ABCD中作DM⊥AD，∴DA，DM，DD₁两两垂直，
以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C₁（2，1，2），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，2，2），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-4，0，2），
设平面AC₁D₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-x+2y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-4x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-3，4），
平面ADD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-3}{\sqrt{29}}$=-$\frac{3\sqrt{29}}{29}$，
∴平面AC₁D₁与平面ADD₁所成的锐二面角的余弦值为$\frac{3\sqrt{29}}{29}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．