Question

16．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，侧面PAD为直角三角形，且PA=PD，面PAD⊥面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面PBC；
（Ⅱ）求证：AP⊥面PCD．

Answer 1

分析 （I）法1：取PC中点G，连接FG、BG，可得BE∥CD，又$BE=\frac{1}{2}DC$，可得BEFG为平行四边形，即证明EF∥BG，进而判定EF∥面PBC；法2：取CD中点H，连接FH，EH，通过证明平面EFH∥平面PBC，进而判定EF∥面PBC．
（II）利用线面垂直的性质可得CD⊥AP，进而证明PD⊥AP，即可证明线面垂直．

解答 （本小题满分12分）
证明：（I）法1：取PC中点G，连接FG、BG，-------------（1分）
因为F、G分别为PD、PC的中点，
所以FG∥CD且$FG=\frac{1}{2}DC$；-------------（2分）
因为ABCD为正方形，所以BE∥CD，
又因为E为AB中点，所以$BE=\frac{1}{2}DC$，
所以BE∥FG，且BE=FG，------（4分）
所以BEFG为平行四边形，所以EF∥BG；
因为EF?面PBC，BG?面PBC，
所以EF∥面PBC；-----------------------（6分）
法2：取CD中点H，连接FH，EH，-------------（1分）
因为F，H分别为PD、CD的中点，
所以FH∥PC，EH∥BC；-------------（2分）
又FH?平面EFH，EH?平面EFH，PC?面PBC，BC?面PBC，
且FH∩EH=H，
所以平面EFH∥平面PBC，-----------------------（4分）
又因为EF?平面EFH，
所以EF∥面PBC；-----------------------（6分）
（ II）因为ABCD为正方形，
所以CD⊥AD，---------------------（7分）
面PAD⊥面ABCD且AD为交线，
所以CD⊥面PAD，-----------------------（8分）
AP?面PAD，所以CD⊥AP，-----------------------（9分）
PAD为直角三角形，且PA=PD，
所以PD⊥AP，----------------------（10分）
又CD∩PD=D，
所以，AP⊥面PCD；-----------------------（12分）

点评 本题主要考查线面平行和线面垂直的判定，利用线面平行和线面垂直的判定定理是解决本题的关键，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．