题目内容

已知函数y=sin2x+
3
sinxcosx+2cos2x，求：
（1）函数的最小值及此时的x的集合．
（2）函数在[0，π]上的单调区间．
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）根据二倍角公式，化简函数解析式：f（x）=sin（2x+
π
6
）+
3
2
，然后，结合三角寒山寺的图象与性质求解最值问题；
（2）直接结合三角函数的单调性进行求解即可．
解答： 解：（1）∵y=sin2x+
3
sinxcosx+2cos2x，
=cos2x+
3
sinxcosx+cos2x+sin2x
=cos2x+
3
sinxcosx+1
=
1+cos2x
2
+
3
2
sin2x+1
=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+
3
2

=sin（2x+
π
6
）+
3
2

∴f（x）=sin（2x+
π
6
）+
3
2

∴ymin=1+
3
2
=
5
2
，此时，2x+
π
6
=-
π
2
+2kπ，k∈Z，
∴x=-
π
3
+kπ，k∈Z，
∴函数的最小值
5
2
，及此时的x的集合{x|x=-
π
3
+kπ，k∈Z}．
（2）令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，
∴-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ，
∴函数在[0，π]上的单调增区间[0，
π
6
]，[
2π
3
，π]，
令
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ，k∈Z，
∴
π
6
+kπ≤x≤
2π
3
+kπ，
∴函数在[0，π]上的单调减区间[
π
6
，
2π
3
]
综上，函数在[0，π]上的单调增区间为：[0，
π
6
]，[
2π
3
，π]，
减区间为：[
π
6
，
2π
3
]．
点评：本题综合考查了三角函数的图象与性质、二倍角公式、三角恒等变换等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设a=
∫
2
1
（3x2-2x）dx，则（ax2-
1
x
）6的展开式中的第4项为（　　）
A、-1280x3
B、-1280
C、240
D、-240
执行如图所示的程序框图，若输入n=2014，则输出的S=（　　）
A、
1007
2015
B、
2013
2014
C、
2014
2015
D、
1006
2013
已知函数f（x）=sinωx•cosωx+sin2ωx-
1
2
（ω＞0），其相邻两个零点间的距离为
π
2
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）锐角△ABC中，f（
A
2
+
π
8
）=
1
2
，AB=4，△ABC的面积为6，求BC的值．
已知：
a
=（2cosx，sinx），
b
=（
3
cosx，2cosx），设函数f（x）=
a
•
b
-
3
（x∈R）
求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值以及取得最大值时x的值；
（3）f（x）的单调递增区间．
已知函数f（x）=Asin（φx+φ）的图象，如图求：
（1）f（x）的解析式
（2）f（x）的单调增区间
（3）使f（x）＜0的x的取值集合．
从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得：
10
i-1
xi=80，
10
i-1
yi=20，
10
i-1
xiyi=184，
10
i-1
x
2
i
=720．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程
y
=
b
x+
a
；
（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为8000元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程
y
=
b
x+
a
中，
b
=
n
i-1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i-1
x
2
i
-n
-2
x
，
a
=
.
y
-
b
.
x
，其中
.
x
，
.
y
为样本平均值．
设a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8．
已知函数f（x）=
cos4x-1
2cos(
π
2
+2x)
+cos2x-sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在所给坐标系中画出函数在区间[
3
8
π，
11
8
π]的图象（只作图不写过程）．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网