Question

18．已知抛物线C₁：y=ax²（a＞0）的焦点F也是椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的一个焦点，点M，P（$\frac{3}{2}$，1）分别为曲线C₁，C₂上的点，则|MP|+|MF|的最小值为2．

Answer 1

分析 先求出椭圆方程，可得焦点坐标，再设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，答案可得．

解答 解：P（$\frac{3}{2}$，1）代入椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{1}{4}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，∴b=$\sqrt{3}$，
∴焦点F（0，1），
∴抛物线C₁：x²=4y，准线方程为y=-1．
设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|
∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，
当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，为1-（-1）=2．
故答案为2．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共线时|PM|+|MD|最小，是解题的关键．