Question

已知f（x）=asinωx+bcosωx+1（ab≠0，ω＞0）的周期为π；f（x）_max=4，且f（

π

6

）=

3

2

3

+1
（1）求a，b；
（2）若α≠β+kπ（k∈Z），且α、β是方程f（x）=0的两个根，求tan（α+β）的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意求得ω=2，再根据

a2+b2 +1=4 asin π 3 +bcos π 3 +1= 3 3 2 +1

，求得a，b．
（2）由（1）可得 f（x）=3sin（2x+

π

3

）+1，令f（x）=0，求得sin（2x+

π

3

）=-

1

3

，可得α的2个值．根据 α、β是方程f（x）=0的两个根，可取 α=

5π

6

-

1

2

arcsin

1

3

，β=

π

3

+

1

2

arcsin

1

3

，可得α+β=

7π

6

，从而求得 tan（α+β）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx+1（ab≠0，ω＞0）的周期为

2π

ω

=π，∴ω=2．
∵f（x）_max=4，且f（

π

6

）=

3 3

2

+1，
∴

a2+b2 +1=4 asin π 3 +bcos π 3 +1= 3 3 2 +1

．
解得

a=3 b=0

，或 

a= 3 2 b= 3 3 2

．
∵ab≠0，∴

a= 3 2 b= 3 3 2

．
（2）由（1）可得 f（x）=

3

2

sin2x+

3 3

2

cos2x+1=3sin（2x+

π

3

）+1．
令f（x）=0，求得sin（2x+

π

3

）=-

1

3

，∴2x+

π

3

=2kπ+arcsin（-

1

3

），或 2x+

π

3

=2kπ+π-arcsin（-

1

3

），k∈z．
∴α=kπ-

π

6

-

1

2

arcsin

1

3

，或α=kπ+

π

3

+

1

2

arcsin

1

3

，k∈z．
∵α、β是方程f（x）=0的两个根，∴可取 α=

5π

6

-

1

2

arcsin

1

3

，β=

π

3

+

1

2

arcsin

1

3

，k∈z
∴α+β=

7π

6

，
∴tan（α+β）=tan

7π

6

=tan

π

6

=

3

3

．

点评：本题主要考查辅助角公式、三角函数的恒等变换、三角函数的周期性、诱导公式的应用，属于中档题．