Question

已知函数f（x）=

[sin(π+x)- 3 cosx]sin2x

2cos(π-x)

-

1

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈(0，

π

2

)时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-

π

6

），由正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）先求2x-

π

6

的范围，可得sin（2x-

π

6

）的取值范围，即可求f（x）的最大值，并求出此时对应的x的值．

解答： 解：（1）f（x）=

(sinx+ 3 cosx)2sinxcosx

2cosx

-

1

2

=sin²x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）…3分
周期T=π，
因为cosx≠0，所以{x|x≠

π

2

+kπ，k∈Z}…5分
当2x-

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，即

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，x≠

π

2

+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递减区间为[

π

3

+kπ，

π

2

+kπ]，[

π

2

+kπ，

5π

6

+kπ]，k∈Z…7分
（2）当x∈(0，

π

2

)，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…9分
sin（2x-

π

6

）∈（-

1

2

，1），当x=

π

3

时取最大值，
故当x=

π

3

时函数f（x）取最大值为1…12分

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．