Question

9．不等式（x+1）（x²-4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y₁=x+1和y₂=x²-4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：
设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x²+2b）≤0，则a+b=-1．

Answer 1

分析 若对任意x≤0，都有（ax+2）（x²+2b）≤0，则y₁=ax+2应为增函数，y₂=x²+2b的图象顶点应在x轴下方，且函数与x负半轴交于同一点，结合a，b∈Z，可得答案．

解答 解：类比图象法解不等式的方法，在同一坐标系中，画出y₁=ax+2和y₂=x²+2b的图象，
若对任意x≤0，都有（ax+2）（x²+2b）≤0，则两个函数图象应如下图所示：
则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ b＜0\\-\frac{2}{a}=-\sqrt{-2b}\end{array}\right.$，
由a，b∈Z得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.$，
∴a+b=-1，
故答案为：-1

点评 本题考查的知识点是类比推理，数形结合思想，转化思想，难度中档．