Question

设关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0，△=4a²-4b²≥0，转化为古典概率求解．
（2）转化为几何概率求解．

解答： 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0方程有实根，∴△=4a²-4b²≥0，
即a≥b
∵a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，
∴转化为古典概率，
总的基本事件有4×3=12个，符合题意的有9个，
上述方程有实根的概率为

9

12

=

3

4

．
（2））∵关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0，∴，△=4a²-4b²≥0，
即a≥b，且a∈[0，3]，b∈[0，2]，
建立几何概率：点（a，b），

S的几何图形为矩形；面积为6，符合条件的图形Ω的面积为4，
方程有实根的概率为：

4

6

．

点评：本题综合考查了古典概率，几何概率与方程的联系．