Question

3．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），a∈R．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程；
（2）当a=1时，求函数f（x）的极值点和极值；
（3）当x≥1时，f（x）≤$\frac{lnx}{x+1}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，求解切线的斜率f′（1）=1-a，然后求解切线方程．
（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．
（3）令g（x）=xlnx-a（x²-1）（x≥1），求出导函数g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，求出${F^'}（x）=\frac{1-2ax}{x}$，通过若a≤0，若$0＜a＜\frac{1}{2}$，若$a≥\frac{1}{2}$，分别判断函数的符号函数的单调性，求解函数的最值，然后求解a的取值范围．

解答 解：（1）由题${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{-ax+1}{x}$，所以f′（1）=1-a，
所以切线方程为：（1-a）（x-1）-y=0
（2）由题a=1时，f（x）=lnx-x+1，所以${f^'}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$
所以f′（x）＞0⇒0＜x＜1；f′（x）＜0⇒x＞1，
所以f（x）在（0，1）单增，在（1，+∞）单减，所以f（x）在x=1取得极大值f（1）=0．
所以函数f（x）的极大值f（1）=0，函数无极小值
（3）$f（x）-\frac{lnx}{x+1}=\frac{{xlnx-a（{x^2}-1）}}{x+1}$，
令g（x）=xlnx-a（x²-1）（x≥1），
g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，${F^'}（x）=\frac{1-2ax}{x}$
①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0
∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，从而$f（x）-\frac{lnx}{x+1}≥0$，不符合题意
②若$0＜a＜\frac{1}{2}$，当$x∈（1，\frac{1}{2a}）$，F′（x）＞0，∴g′（x）在$（1，\frac{1}{2a}）$递增，
从而g′（x）＞g′（1）=1-2a，以下论证同（1）一样，所以不符合题意
③若$a≥\frac{1}{2}$，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，
从而g（x）在[1，+∞）递减，∴g（x）≤g（1）=0，$f（x）-\frac{lnx}{x+1}≤0$，
综上所述，a的取值范围是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值单调区间，函数的最值的求法，考查构造法以及转化思想的应用，分类讨论思想的应用，难度比较大．