Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点P（m，n）（m＞0，n＞0），曲线Q：（x-m）²+（y-n）²=m²+n²经过椭圆C的长轴端点，与两坐标轴的相交弦长相等，且OP=

2

（其中O上坐标原点）．
（1）求椭圆C点方程；
（2）设点G为椭圆长轴上一点，当过G的直线l与曲线Q的相交弦长最大时，直线l交椭圆于A，B，过点G且与直线l垂直的直线l′交椭圆于C，D，试问：是否存在直线l，使得四边形ACBD的面积等于4？若存在，求出一条对应的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于与两坐标轴的相交弦长相等，则m=n，又圆经过椭圆C的长轴端点，则a=2m，再由条件可得m=n=1，a=2，将（1，1）代入椭圆方程，即可得到b，进而得到椭圆方程；
（2）由于过G的直线l与曲线Q的相交弦长最大，则l过圆心，可设直线l：x=m（y-1）+1，联立椭圆方程，消去x，运用韦达定理和弦长公式，得到AB，再设直线l'：y=-m（x-1+m），联立椭圆方程x²+3y²-4=0，消去y，运用韦达定理和弦长公式，得到CD，假设存在直线l，使得四边形ACBD的面积等于4，运用面积公式，即可得到m的方程，解得即可．

解答： 解：（1）曲线Q：（x-m）²+（y-n）²=m²+n²
表示圆心为P（m，n），半径为

m2+n2

的圆，
由于与两坐标轴的相交弦长相等，则m=n，又圆经过椭圆C的长轴端点，
则有（±a-m）²+（0-n）²=m²+n²，
即有a=2m，且OP=

2

，则m²+n²=2，即有m=n=1，
a=2，又

1

a2

+

1

b2

=1，则b²=

4

3

，
则椭圆方程为：

x2

4

+

3y2

4

=1；
（2）由于过G的直线l与曲线Q的相交弦长最大，则l过圆心，
可设直线l：x=m（y-1）+1，联立椭圆方程，消去x，得，
（3+m²）y²+2m（1-m）y+（1-m）²-4=0，
y₁+y₂=

2m(m-1)

3+m2

，y₁y₂=

(1-m)2-4

3+m2

，
则|AB|=

1+m2

•

4m2(m-1)2 (3+m2)2 - 4((1-m)2-4) 3+m2

=

1+m2

•

2|m+3|

3+m2

，
再设直线l'：y=-m（x-1+m），联立椭圆方程x²+3y²-4=0，
消去y，得，（1+3m²）x²-6m²（1-m）x+3m²（m-1）²-4=0，
x₁+x₂=

6m2(1-m)

1+3m2

，x₁x₂=

3m2(m-1)2-4

1+3m2

，
则|CD|=

1+m2

•

( 6m2(1-m) 1+3m2 )2- 12m2(m-1)2-16 1+3m2

=

1+m2

•

2 4+12m2-3m2(m-1)2

1+3m2

，
假设存在直线l，使得四边形ACBD的面积等于4，
则

1

2

|AB|•|CD|=4，
即有（1+m²）|m+3|•

4+12m2-3m2(m-1)2

=2（1+3m²）（m²+3），
当m=0时，上式成立，
则存在直线l：x=1，使得四边形ACBD的面积等于4．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线和圆的位置关系，弦长问题，考查直线和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查运算和化简整理的能力，属于中档题．