题目内容
若正方体的外接球的体积为4
π，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ．
| 3 |
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：通过球的体积求出正方体的棱长，再求解该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的底面棱长，求出它的高然后求出体积．
解答：
解：正方体的外接球的体积为4
π，所以正方体的对角线的长度为：2R，∴
πR3=4
π，解得R=
．
正方体的棱长为：2．正方体的吗对角线长度为：2
．正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体．棱长为：
．
所求八面体体积是两个底面边长为
，高为1的四棱锥的体积和，
一个四棱锥体积V1=
×（
）2×1=
，
故八面体体积V=2V1=
．
故答案为：
．
解：正方体的外接球的体积为4| 3 |
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正方体的棱长为：2．正方体的吗对角线长度为：2
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所求八面体体积是两个底面边长为
| 2 |
一个四棱锥体积V1=
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| 2 |
| 2 |
| 3 |
故八面体体积V=2V1=
| 4 |
| 3 |
故答案为：
| 4 |
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点评：本题考查棱柱的结构特征，几何体的内接体问题，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
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| 1 |
| 2 |
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