Question

设函数f（x）=sinωxcosωx+

3

cos²ωx+a，（其中ω＞0，a∈R）．
（1）若函数g（x）=f（x）-

3

2

-a的图象与直线y=1的相邻的两个公共点的距离为2，求ω的值；
（2）若函数f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

，且y=f（x）在区间[-

π

3

，

π

3

]上恰好有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可得f（x）=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a，g（x）=sin（2ωx+

π

3

），依题意，可知g（x）的周期T=2，可求得ω的值；
（2）2ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

⇒ω=

1

2

，于是f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a，由x∈[-

π

3

，

π

3

]⇒x+

π

3

∈[0，

2π

3

]，要使f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a在区间[-

π

3

，

π

3

]上恰好有两个零点，
必须直线y=-a-

3

2

与曲线y=sin（x+

π

3

）（-

π

3

≤x≤

π

3

）有两个交点，从而可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinωxcosωx+

3

cos²ωx+a
=

1

2

sin2ωx+

3

2

（1+cos2ωx）+a=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a，
∴g（x）=f（x）-

3

2

-a=sin（2ωx+

π

3

），又g（x）=sin（2ωx+

π

3

）的图象与直线y=1的相邻的两个公共点的距离为2，
∴T=

2π

2ω

=2，∴ω=

π

2

；
（2）∵2ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

，
∴ω=

1

2

，
∴f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a，
∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，∴x+

π

3

∈[0，

2π

3

]，
∴要使f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a在区间[-

π

3

，

π

3

]上恰好有两个零点，
必须直线y=-a-

3

2

与曲线y=sin（x+

π

3

）（-

π

3

≤x≤

π

3

）有两个交点，
∴

3

2

≤-a-

3

2

＜1，
解得：-1-

3

2

＜a≤-

3

，即a的取值范围为（-1-

3

2

，-

3

]．

点评：本题考查三角恒等变换的应用，考查二倍角的正弦与余弦，着重考查正弦函数的周期性、对称性、闭区间上的单调性与最值的综合应用，考查转化思想与运算求解能力．