Question

已知f（x）=x³+xsina，a∈（0，

π

2

），且f（kcosa）+f（1-k）≥0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：运用导数，判断单调性，由奇偶性的定义，确定奇函数，f（kcosa）+f（1-k）≥0恒成立即为f（kcosα）≥-f（1-k）=f（k-1），即有kcosα≥k-1即k≤

1

1-cosα

在α∈（0，

π

2

）恒成立，运用余弦函数的单调性，即可得到k的范围．

解答： 解：f（x）=x³+xsina的导数f′（x）=3x²+sinα，
由于α∈（0，

π

2

），则sinα∈（0，1），
则f′（x）＞0恒成立，即有f（x）在R上递增，
又f（-x）=-x³-xsinα=-f（x），即f（x）为奇函数，
f（kcosa）+f（1-k）≥0恒成立即为f（kcosα）≥-f（1-k）=f（k-1），
即有kcosα≥k-1即k≤

1

1-cosα

在α∈（0，

π

2

）恒成立，
由于cosα∈（0，1），则1-cosα∈（0，1），

1

1-cosα

∈（1，+∞），
即有k≤1．
即k的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查不等式恒成立问题，转化为求函数的范围，考查运算能力，属于中档题．