题目内容
已知|
|=|
|=|
|=1，且
=
+
（1）求证：
⊥
；
（2）设
与
的夹角为θ，求cosθ的值．
| a |
| b |
| c |
| c |
| 3 |
| 5 |
| a |
| 4 |
| 5 |
| b |
（1）求证：
| a |
| b |
（2）设
| a |
| c |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用数量积的性质可得
•
=0即可证明；
（2）对
=
+
，两边作数量积
•
=
2+
•
，化简即可．
| a |
| b |
（2）对
| c |
| 3 |
| 5 |
| a |
| 4 |
| 5 |
| b |
| a |
| c |
| 3 |
| 5 |
| a |
| 4 |
| 5 |
| a |
| b |
解答：
解：（1）∵
=
+
，
∴
2=(
+
)2=
2+
2+
•
，
∵|
|=|
|=|
|=1，
∴1=
+
+
•
，
∴
•
=0．
∴
⊥
．
（2）∵
=
+
，
∴
•
=
2+
•
，
∵|
|=|
|=|
|=1，
•
=0，
∴1×1×cosθ=
×12．
∴cosθ=
．
| c |
| 3 |
| 5 |
| a |
| 4 |
| 5 |
| b |
∴
| c |
| 3 |
| 5 |
| a |
| 4 |
| 5 |
| b |
| 9 |
| 25 |
| a |
| 16 |
| 25 |
| b |
| 24 |
| 25 |
| a |
| b |
∵|
| a |
| b |
| c |
∴1=
| 9 |
| 25 |
| 16 |
| 25 |
| 24 |
| 25 |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
（2）∵
| c |
| 3 |
| 5 |
| a |
| 4 |
| 5 |
| b |
∴
| a |
| c |
| 3 |
| 5 |
| a |
| 4 |
| 5 |
| a |
| b |
∵|
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
∴1×1×cosθ=
| 3 |
| 5 |
∴cosθ=
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查了数量积的运算法则及其性质、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
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