Question

3．已知圆M与x轴相切且过点（0，2），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程与圆M的圆心的轨迹方程；
（2）P为直线l上任意一点，Q为C上的任意一点，求P、Q两点间距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，消去参数，可得普通方程；设C（x，y），则$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=|y|，可得圆M的圆心的轨迹方程；
（2）求出与直线l平行，与曲线相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出P、Q两点间距离的最小值．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，消去参数，可得普通方程为y-2=$\sqrt{3}$（x-1）；
设C（x，y），则$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=|y|，可得x²=4y-4；
（2）由x²=4y-4可得y=$\frac{1}{4}$（x²+1），∴y′=$\frac{1}{2}$x
令$\frac{1}{2}$x=$\sqrt{3}$，则x=2$\sqrt{3}$，∴y=4，
∴P、Q两点间距离的最小值为（2$\sqrt{3}$，4）到直线l的距离d=$\frac{4-\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=2-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、导数的几何意义，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．