Question

已知△ABC的顶点A（0，1），BC边所在的直线方程为x-4y-2=0，AC边所在直线的方程为x=0，AB边的中点坐标为E(1，

1

2

)．
（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；
（2）过点F（-1，-2）的直线分别交x轴、y轴的负半轴于M，N两点，当|FM|•|FN|最小时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）联立

x-4y-2=0 x=0

，解得C点的坐标．利用中点坐标公式可得B点的坐标．
（2）设直线l的方程为y+2=k（x+1），分别令x=0，y=0，可得M，N的坐标．再利用两点之间的距离公式、基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵BC边所在的直线方程为x-4y-2=0，AC边所在直线的方程为x=0，
联立

x-4y-2=0 x=0

，解得x=0，y=-

1

2

．
∴C(0，-

1

2

)，
又∵AB边的中点坐标为E(1，

1

2

)．
∴

0+xB 2 =1 1+yB 2 = 1 2

，解得x_B=2，y_B=0．
∴B（2，0）．
（2）设直线l的方程为y+2=k（x+1），
令x=0，得y=k-2，则M(

2

k

-1，0)
令y=0，得x=

2

k

-1，则N（0，k-2）．
∴|FM|•|FN|=

4 k2 +4

•

k2+1

=

4k2+ 4 k2 +8

≥4，
当且仅当k2=

1

k2

，即k=±1时等号成立，
但k＜0，故直线l的方程为：x+y+3=0．

点评：本题考查了直线的方程、中点坐标公式、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．