Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（-3）=

1

8

，定义域为R的函数f（x）=

c-g(x)

1+g(x)

是奇函数．
（1）求函数g（x）与f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明之；
（3）若关于x的方程f（x）=m在x∈[-1，1]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）选设出函数的表达式，代入函数值，求出a的值，再进行检验，符合题意；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，用定义法作差证明即可；
（3）先根据函数的单调性求出函数的值域，从而求出m的范围．

解答： 解：（1）设g（x）=a^x，则g(-3)=a-3=

1

8

解得：a=2，所以g（x）=2^x
所以f(x)=

c-2x

1+2x

，令f（0）=0得

c-1

2

=0，所以c=1，
经检验，当c=1时，f(x)=

1-2x

1+2x

为奇函数，符合题意，
所以f(x)=

1-2x

1+2x

；
（2）f（x）在R上单调递减，
证明如下：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1-2x1

1+2x1

-

1-2x2

1+2x2

=

(1-2x1)(1+2x2)-(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

=

(1-2x1+2x2-2x1+x2)-(1-2x2+2x1-2x1+x2)

(1+2x1)(1+2x2)

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

=

2•2x1(2x2-x1-1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
因为2x1＞0，2x2＞0，所以(1+2x1)(1+2x2)＞0
而x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，2x2-x1＞1，2x2-x1-1＞0，
所以

2•2x1(2x2-x1-1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在R上单调递减；
（3）由（2）知f（x）在[-1，1]上单调递减，所以f（-1）≤f（x）≤f（1）
即f（x）在[-1，1]上的值域为[-

1

3

，

1

3

]，
要使得关于x的方程f（x）=m在x∈[-1，1]上有解，
则实数m的取值范围为[-

1

3

，

1

3

]．

点评：本题考查了函数的解析式的求法，考查了定义法证明函数的单调性，考查了求参数的范围，是一道中档题．