Question

【题目】(1)求函数的零点个数；

(2)证明：当，函数有最小值，设的最小值为，求函数的值域.

Answer 1

【答案】(1) 1；(2).

【解析】试题分析：（1）研究函数的单调性，由零点存在性定理，即可判断函数的零点个数；（2），由(1)知，在时单调递增，因此，存在唯一，使得，因此在处取得最小值.

, 于是，进而求值域即可.

试题解析：

(1)函数的定义域为，且，

令，得，

当时，，在区间内单调递减；

当时，，在区间内单调递增；

故.

因为，当时，，即，

所以函数在区间内无零点.

因为，，

又在区间内单调递增，

根据零点存在性定理，得

函数在区间内有且只有一个零点.

综上，当时，函数在的零点个数为1.

(2)，

则，由(1)知，在时单调递增，

对任意，，，

因此，存在唯一，使得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

因此在处取得最小值.

,

,

于是，

由，

得在单调递减，

所以，由，得，

，

因为单调递减，

对任意，存在唯一的，，使得，

所以的值域是.

综上，当，函数有最小值.

的值域是.