Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=

3b2

4

，若C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足∠APB=60°，则椭圆C的离心率取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用条件判断出O、P、A、B四点共圆，由三角函数求得|OP|的长，根据|OP|的范围和椭圆离心率、性质，列出不等式求出椭圆的离心率的取值范围．

解答： 解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，
∵∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，
在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，|OA|=

3

2

b
∴cos∠AOP=

OA

OP

，则|OP|=

3 2 b

1 2

=

3

b，
∵b＜|OP|≤a，
∴

3

b≤a，∴3b²≤a²，即3（a²-c²）≤a²，
∴2a²≤3c²，则

2

3

≤

c2

a2

，即e≥

6

3

，
又0＜e＜1，则

6

3

≤e＜1，
故答案为：[

6

3

，1)．

点评：本题考查椭圆的离心率，四点共圆的性质，及三角函数的概念，考查转化思想，属于中档题．