Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

-

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：证明题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）易求a₁=1，由题意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），两式相减后变形可得a_n+1+1=2（a_n+1），根据等比数列的定义可得结论，利用等比数列通项公式可求a_n+1，进而可得a_n；
（2）由于

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

＞

2n-1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

，再由等差和等比数列求和公式，即可得证．

解答： （1）证明：n=1时，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由题意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
两式相减得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1，即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2．
∴数列{a_n+1}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（2）证明：由于

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

＞

2n-1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

，
则有

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞（

1

2

+

1

2

+…+

1

2

）-（

1

4

+

1

8

+…+

1

2n+1

）
=

n

2

-

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

＞

n

2

-

1

2

．
则原不等式成立．

点评：本题考查数列的通项和前n项和间的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列不等式的证明方法：运用放缩法证明，考查推理能力，属于中档题．