题目内容
已知F是双曲线
-
=1的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率等于 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用双曲线的对称性及等腰直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．
解答：
解：∵△ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB为直角，
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
∴∠AEF=∠BEF=45°
∴|AF|=|EF|
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0），
∴令x=-c，则
-
=1，解得y=±
，
即有|AF|=
，
∴|EF|=a+c，
∴
=a+c，又b2=c2-a2，
∴c2-ac-2a2=0，
∴e2-e-2=0
∵e＞1，∴e=2．
故答案为：2．
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
∴∠AEF=∠BEF=45°
∴|AF|=|EF|
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0），
∴令x=-c，则
| c2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2 |
| a |
即有|AF|=
| b2 |
| a |
∴|EF|=a+c，
∴
| b2 |
| a |
∴c2-ac-2a2=0，
∴e2-e-2=0
∵e＞1，∴e=2．
故答案为：2．
点评：本题考查双曲线的对称性、双曲线的三参数关系：c2=a2+b2，考查双曲线的离心率的求法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若π＜α＜
，则
+
的化简结果（ ）
| 3π |
| 2 |
|
|
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|
函数f（x）=sin（ωx+
）（ω＞0）的最小正周期是π，下面是函数f（x）对称轴的是（ ）
| π |
| 4 |
| A、π=π | ||
B、x=
| ||
C、x=
| ||
D、x=
|