Question

以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2

2

，

5π

4

），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（2）过P的直线l与曲线C交于A，B两点，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求直线l的方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,等比数列的通项公式

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；
（2）可知直线l的斜率存在，设直线l的参数方程为

x=-2+tcosα y=-2+tsinα

，（t为参数）．点A，B的参数分别为t₁，t₂．代入圆的方程可得：t²-（8cosα+4sinα）t+16=0，
由|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，可得|AB|²=|PA|•|PB|，(t1+t2)2-4t1t2=t₁t₂，把根与系数的关系代入即可得出．

解答： 解：（1）∵P点的极坐标为（2

2

，

5π

4

），∴x_P=2

2

cos

5π

4

=-2，y_P=2

2

sin

5π

4

=-2，∴P（-2，-2）；
曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4x．
（2）可知直线l的斜率存在，设直线l的参数方程为

x=-2+tcosα y=-2+tsinα

，（t为参数）．
点A，B的参数分别为t₁，t₂．
代入圆的方程可得：t²-（8cosα+4sinα）t+16=0，
∴t₁+t₂=8cosα+4sinα，t₁t₂=16，
|PA|=|t₁|，|AB|=|t₁-t₂|，|PB|=|t₂|，
∵|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，
∴|AB|²=|PA|•|PB|，
∴(t1+t2)2-4t1t2=t₁t₂，
∴（8cosα+4sinα）²=5×16，
化为3cos²α+4sinαcosα=4，
与sin²α+cos²α=1联立解得：sin2α=

1

5

，cos2α=

4

5

，
∴tan²α=

1

4

，
由题意可取：tanα=

1

2

，
∴直线l的方程为：y+2=

1

2

(x+2)，化为x-2y-2=0．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．