Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 根据向量的数量积公式和向量垂直即可求出．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=3+2$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角的范围[0，π]
∴向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{5π}{6}$
故答案为：$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了向量的数量积公式和向量垂直的条件，属于基础题．