Question

11．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足2S_n=3a_n-3（n∈N₊），等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₅+b₁₃=34，T₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}的通项公式为c_n=a_nb_n，问是否存在互不相等的正整数m，k，r使得m，k，r成等差数列，且c_m，c_k，c_r成等比数列？若存在，求出m，k，r；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的前n项和公式和数列的递推公式，即可求出答案，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知C_n=（2n-1）•3ⁿ，假设存在互不相等且大于2的正整数m，k，r满足条件，得出矛盾即可．

解答 解：（Ⅰ）由2S_n=3a_n-3（n∈N₊）令n=1可知a₁=3，
当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，两式相减得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴${a_n}={3^n}$．                    
设等差数列{b_n}的公差为d，依题意得，$\left\{{\begin{array}{l}{2{b_1}+16d=34}\\{3{b_1}+3d=9}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{b_1}=1}\\{d=2}\end{array}}\right.$，
∴b_n=2n-1；
（Ⅱ）由（1）可知${c_n}={a_n}{b_n}=（2n-1）{3^n}$，
假设存在互不相等的正整数m，k，r，使得m，k，r成等差数列，且c_m，c_k，c_r成等比数列．则${c_k}^2={c_m}{c_r}$，
即（2k-1）²•3^2k=（2m-1）（2r-1）•3^m+r．（*），
由m，k，r成等差数列，得2k=m+r，所以3^2k=3^m+r．
所以由（*）得（2k-1）²=（2m-1）（2r-1）．即4k²-4k+1=4mr-2（m+r）+1，
又2k=m+r，所以k²=mr，即${（\frac{m+r}{2}）^2}=mr$，即（m-r）²=0即m=r．这与m≠r矛盾，
所以，不存在满足条件的正整数m，k，r，使得m，k，r成等差数列，且c_m，c_k，c_r成等比数列．

点评 本题是一道关于数列递推式的综合题，考查分析问题、解决问题的能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．