Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，该双曲线的离心率为2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，设出双曲线的两条渐近线的方程，先由双曲线的两条渐近线的夹角为60°，得双曲线的两条渐近线的倾斜角，计算可得其斜率，由离心率的计算公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设其一条渐近线线y=$\frac{b}{a}$x的倾斜角为θ，则有tanθ=$\frac{b}{a}$，
若双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则有2θ=60°或180-2θ=60°，
即有θ=30°或60°，
当θ=30°时，tanθ=$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当θ=60°时，tanθ=$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
故该双曲线的离心率为2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意直线夹角的定义，需要分2种情况讨论．