Question

已知x∈[0，3]，求函数y=4x-

1

2

-2^x+2+3的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先化简，利用配方法求函数的取值范围，进而确定函数的最大值与最小值．

解答： 解：y=4x-

1

2

-2^x+2+3=

1

2

（2^x）²-4×2^x+3
=

1

2

（2^x-4）²-5，
∵x∈[0，3]，
∴2^x∈[1，9]，
∴0≤（2^x-4）²≤25，
∴-5≤

1

2

（2^x-4）²-5≤

15

2

．
故函数y=4x-

1

2

-2^x+2+3的最大值为

15

2

，最小值为-5．

点评：本题实质考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．