Question

15．下列说法中，正确的是④．（填序号）
①若函数f（x）满足f（x）＜f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）是增函数；
②若函数满足|f（-x）|＜|f（x）|对一切实数x成立，则是奇函数或是偶函数；
③若函数f（x）满足f（1-x）=f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称；
④若函数f（x）满足f（1-x）=f（x-1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称．

Answer 1

分析 令f（x）=[x]判断①；使用分析法判断②；根据f（x）的性质判断③；将x换为1-x判断④．

解答 解：对于①，若f（x）=[x]，[x]表示不大于x的整数，
显然[x]＜[x+1]，即f（x）＜f（x+1），而f（x）不是增函数，故①错误；
对于②，若f（x）是奇函数或偶函数，则|f（-x）|=|f（x）|，与已知矛盾，故②错误；
对于③，若f（1-x）=f（x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称，故③错误；
对于④，若f（1-x）=f（x-1），则f[1-（1-x）]=f[（1-x）-1]，即f（x）=f（-x），
所以f（x）关于y轴对称，故④正确．
故答案为④．

点评 本题考查了函数的性质，对称性判断，属于中档题．