Question

5．已知函数f（x）=lnx-ax-$\frac{1}{2}{x^3}（{a∈R}）$．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点$（{3，\frac{9}{2}}）$，求a的值；
（2）若f（x）在（1，2）上存在极值，求a的取值范围；
（3）当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，曲线曲线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程，代入$（{3，\frac{9}{2}}）$求出a即可．
（2）利用导函数的单调性以及函数的极值，列出不等式求解即可．
（3）当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则$lnx-ax-\frac{1}{2}{x^3}＜0$，即$a＞\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2}{x^2}$对x＞0恒成立．
设$g（x）=\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2}{x^2}（{x＞0}）$，求出导函数$g′（x）=\frac{{1-lnx-{x^3}}}{x^2}$，设h（x）=1-lnx-x³（x＞0），再求解函数的导数，判断函数的单调性以及最值，求出$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{1}{2}$，然后求解a的取值范围．

解答 解：（1）∵$f′（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{3}{2}{x^2}$，
∴$f′（1）=-a-\frac{1}{2}$，∵$f（1）=-a-\frac{1}{2}$，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为$y+a+\frac{1}{2}=-（{a+\frac{1}{2}}）（{x-1}）$，
代入$（{3，\frac{9}{2}}）$得a+5=-2a-1⇒a=-2．
（2）∵$f′（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{3}{2}{x^2}$为（0，+∞）上的减函数，
f（x）在（1，2）上存在极值，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f′（1）＞0}\\{f′（2）＜0}\end{array}}\right.⇒a∈（{-\frac{11}{2}，-\frac{1}{2}}）$．
（3）当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则$lnx-ax-\frac{1}{2}{x^3}＜0$，
即$a＞\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2}{x^2}$对x＞0恒成立．
设$g（x）=\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2}{x^2}（{x＞0}）$，$g′（x）=\frac{{1-lnx-{x^3}}}{x^2}$，
设h（x）=1-lnx-x³（x＞0），$h′（x）=-\frac{1}{x}-3{x^2}＜0$，
∴h（x）在（0，+∞）上递减，
又h（1）=0，则当0＜x＜1时，h（x）＞0，g′（x）＞0；
当x＞1时，h（x）＜0，g′（x）＜0．
∴$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{1}{2}$，∴$a＞-\frac{1}{2}$，
即a的取值范围为$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程，极值以及函数的最值，构造法二次导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．