Question

已知函数．
（1）若为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（2）当m=-1时，求函数的最大值；
（3）当，时，证明：．

Answer 1

（1）m≥0（2）0（3）构造函数利用导数证明

解析试题分析：(1)由已知得,
所以                                                                   2分
若f(x)在上是增函数,则,即在恒成立,
而,故m≥0;                                                                   4分
若f(x)在上是减函数,则,即在恒成立,
而,故这样的m不存在.                                                         5分
经检验,当m≥0时, 对恒成立,
∴当m≥0时，f(x)在定义域上是单调增函数.                                                6分
(2)当m =－1时, ,则                       7分
当时,,此时f(x)为增函数,
当时, ,此时f(x)为减函数                                               9分
∴f(x)在x = 0时取得最大值,最大值为0.                                                   10分
(3)当m = 1时,令,           11分
在[0,1]上总有,即在[0,1]上递增 ，                                          12分
∴当时,,即，             13分
令,由(2)知它在[0,1]上递减,
所以当时,,即 ，             14分
综上所述,当m = 1,且时,.                                  15分
考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等和构造函数证明不等式.
点评：导数是研究函数性质的有力工具，利用导数研究函数性质时，不要漏掉函数的定义域，求函数的极值、最值等时最好列表格说明，证明不等式一般要构造函数利用单调性证明问题.