Question

8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．
（1）求a的值；
（2）求$sin（A+\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得$\frac{a}{2sinBcosB}$=$\frac{3}{sinB}$，整理得a=6cosB，由余弦定理可解得a的值，
（2）由（1）及已知利用余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵A=2B，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，b=3，c=1，
∴$\frac{a}{2sinBcosB}$=$\frac{3}{sinB}$，整理得：a=6cosB，
∴由余弦定理可得：a=6×$\frac{{a}^{2}+1-9}{2a}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，
（2）∵b=3，c=1，a=2$\sqrt{3}$，可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9+1-12}{2×3×1}$=-$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$sin（A+\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．