Question

9．已知函数f（x）=2cos²x$+\sqrt{3}$sin2x
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{4}$）的值
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，可得f（$\frac{π}{4}$）的值．
（Ⅱ）根据函数的解析式，求得f（x）的最小正周期，再利用余弦函数的单调性求得它的单调递减区间．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos²x$+\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（$\frac{π}{4}$）=2cos$\frac{π}{6}$+1=$\sqrt{3}$+1．
（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1，故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
可得该函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性和单调性，属于基础题．