Question

10．S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若S₄=S₂+2，则S₆的最小值为6．

Answer 1

分析 根据题意，讨论公比q=1和q≠1时，求出S₆的表达式，利用立方差与立方和公式，再结合基本不等式求出最小值．

解答 解：∵S_n为等比数列{a_n}的前n项和，
且S₄=S₂+2，
∴当q=1时，4a₁=2a₁+2，
解得a₁=1，
∴S₆=6a₁=6；
当q≠1时，有a₁q³+a₁q²=2，
∴a₁q²（1+q）=2，
∴a₁=$\frac{2}{{q}^{2}（1+q）}$；
∴S₆=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{6}）}{1-q}$
=$\frac{{a}_{1}（1-q）（1+q{+q}^{2}）（1{+q}^{3}）}{1-q}$
=a₁（1+q+q²）（1+q³）
=$\frac{2（1+q{+q}^{2}）（1+q）（1{-q+q}^{2}）}{{q}^{2}（1+q）}$
=2•$\frac{{（1{+q}^{2}）}^{2}{-q}^{2}}{{q}^{2}}$
=2•[（$\frac{1}{{q}^{2}}$+q²）+1]
≥2•[2$\sqrt{\frac{1}{{q}^{2}}{•q}^{2}}$+1]=6，
当且仅当q=-1时取“=”；
综上，S₆的最小值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查了等比数列的前n项和的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．